Question

如圖，摩天輪的半徑為40m，摩天輪的圓心O點距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．
（1）已知在時刻t（min）時點P距離地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2006min時點P距離地面的高度
（2）求證：不論t為何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定植．

Answer 1

分析：（1）由實際問題求出三角函數中的參數A，h，及周期T，利用三角函數的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（t），將t用2006代替求出2006min時點P距離地面的高度
（2）將t，t+1，t+2代入函數解析式，利用兩角和的公式將三角函數式展開，求出值．

解答：解：（1）由題意可知：A=40，h=50，T=3，所以ω=

2

3

π，即f(t)=40sin(

2

3

πt+?)+50，
又因為f（0）=10，故?=-

π

2

，得f(t)=40sin(

2

3

πt-

π

2

)+50，
所以f（2006）=70，即點P距離地面的高度為70m．
（2）由（1）知f(t)=40sin(

2

3

πt-

π

2

)+50=50-40cos

2

3

πt，
f（t）+f（t+1）+f（t+2）=50-40cos

2

3

πt+50-40cos

2

3

π(t+1)+50-40cos

2

3

π(t+2)=150-40[cos

2

3

π+cos(

2

3

πt+

2

3

π)+cos(

2

3

πt+

4

3

π)]=150
故不論t為何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定值，定值為150．

點評：本題考查通過實際問題得到三角函數的性質，由性質求三角函數的解析式；考查兩角和的正弦公式．