Question

過(guò)直線(xiàn)y=-x+3上任一點(diǎn)P向圓x²+（y-1）²=1作兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B．則∠APB最大值為（　　）

• A．

  π

  4

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：由題意可得，當(dāng)∠APB最大時(shí)，CP垂直于直線(xiàn)y=-x+3，求出圓心C（0，1）到直線(xiàn)y=-x+3的距離為d，Rt△PAC中，由sin∠CPA=

r

d

求出∠CPA的值，則 2∠CPA即為所求．

解答：解：由題意可得，當(dāng)∠APB最大時(shí)，CP垂直于直線(xiàn)y=-x+3，設(shè)圓心C（0，1）到直線(xiàn)y=-x+3的距離為d．
∵d=

|0+1-3|

2

=

2

，
Rt△PAC中，sin∠CPA=

r

d

=

CA

CP

=

1

2

，
∴∠CPA=

π

4

．
∴∠APB=2∠CPA=

π

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，解直角三角形，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．