Question

已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線l：ax-y-2=0（a＞0）與圓C相交于A、B兩點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設圓心C（a，b），由圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切，建立方程組求出圓心和半徑，由此能求出圓C的方程．
（2）把直線y=ax-2代入圓的方程，得（a²+1）x²-6ax+4=0，由直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，知5a²-4＞0，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）設圓心C（a，b），
∵圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點A（1，3），與直線x+2y-7=0相切，
∴

a+1=b (a-1)2+(b-3)2 = |a+2b-7| 5

，
解得a=0，b=1，
∴圓心C（0，1），圓半徑r=|AC|=

(0-1)2+(1-3)2

=

5

，
∴圓C的方程為x²+（y-1）²=5．（8分）
（2）把直線ax-y-2=0，即y=ax-2代入圓的方程x²+（y-1）²=5，
消去y整理，得（a²+1）x²-6ax+4=0，
∵直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
∴△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，
由于a＞0，解得a＞

2 5

5

．
所以實數a的取值范圍是（

2 5

5

，+∞）． （15分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．