Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其對角線的交點為O，且SA=SC，SA⊥BD．
（1）求證：SO⊥平面ABCD；
（2）設BAD=60°，AB=SD=2，P是側棱SD上的一點，且SB∥平面APC，求三棱錐A-PCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據線面垂直的判定定理，容易判斷BD⊥平面SAC，所以BD⊥SO，而SO又是等腰三角形底邊AC的高，所以SO⊥AC，從而得到SO⊥平面ABCD；
（2）取DO中點E，并連接PE，容易說明PE是三棱錐P-ACD底面ACD的高，且PE=

1

2

SO，根據已知條件能夠求出SO，及△ACD的面積，根據三棱錐的體積公式即可求得三棱錐P-ACD的體積，而V_{三棱錐A-PCD}=V_{三棱錐P-ACD}，這樣即可求出三棱錐A-PCD的體積．

解答： 解：（1）證明：∵底面ABCD是菱形；
∴對角線BD⊥AC；
又BD⊥SA，SA∩AC=A；
∴BD⊥平面SAC，SO?平面SAC；
∴BD⊥SO，即SO⊥BD；
又SA=SC，O為AC中點；
∴SO⊥AC，AC∩BD=O；
∴SO⊥平面ABCD；
（2）如圖，連接PO；
∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；
∴SB∥PO；
在△SBD中，O是BD的中點，PO∥SB，∴P是SD的中點；
取DO中點，并連接PE，則PE∥SO，SO⊥底面ACD；
∴PE⊥底面ACD，且PE=

1

2

SO；
根據已知條件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；
∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=

4-1

=

3

；
∴PE=

3

2

；
又S△ACD=

1

2

×2×2×sin120°=

3

；
∴V_{三棱錐A-PCD}=V_{三棱錐P-ACD}=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．

點評：考查線面垂直的判定定理，菱形對角線的性質，線面平行的性質定理，以及三角形的面積公式，三棱錐的體積公式．