Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱平面，為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，的中點(diǎn).

【解析】

（1）作，以為原點(diǎn)，以 的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量即可得二面角的的余弦值；
（2）線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面”等價(jià)于垂直面的法向量.

作，以為原點(diǎn)，以 的方向分別為軸，軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

則,

設(shè)平面的法向量為，

由 ,有

則可以取

設(shè)平面的法向量為，

由 ,有

則可以取

所以.

由圖可知, 二面角的余弦值為

(2) 由（1）可知面的法向量為,

“線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得∥平面”等價(jià)于,

，設(shè),

則

由，得解得.

所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)，即中點(diǎn)，使得平面.