Question

設a,b,c∈R,已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c,g(x)=cx²+bx+a,且當|x|≤1時,|f(x)|≤2.

(1)求證:|g(1)|≤2;

(2)求證:|x|≤1時,|g(x)|≤4.

Answer 1

證明:(1)∵|x|≤1時,|f(x)|≤2,

∴令x=1,|f(1)|=|a+b+c|≤2.

∴|g(1)|=|c+b+a|≤2.

(2)∵|x|≤1時,|f(x)|≤2,

∴|f(0)|=|c|≤2,|f(-1)|=|a-b+c|≤2.

∴|g(x)|=|cx²+bx+a|=|(cx²-c)+(c+bx+a)|≤|c||x²-1|+|c+bx+a|.

∵|x|≤1,∴|x²-1|≤1.

又|c|≤2,∴|c||x²-1|≤2.

∵u=c+bx+a在［-1,1］上單調(diào),

∴|c+bx+a|≤max{|c-b+a|,|c+b+a|}.

又|c-b+a|≤2,|c+b+a|≤2,

∴|c+bx+a|≤2.

∴|g(x)|≤|c||x²-1|+|c+bx+a|≤2+2=4.