Question

設函數為奇函數，g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}（ a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定義域；
（3）若g（x）在上恒正，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）
∴
∴（m²-1）x²=0，又m≠1
∴m=-1；
（2）
x必須滿足
∴
∴g（x）的定義域為{x：x＜-1或x＞1}
（3）∵，
即（x+1）（ax+1）＞1
∴∴
∵∴
∴a的取值范圍是（2，+∞）．
分析：（1）根據函數f（x）為奇函數可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得m．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，進而根據g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}可得g（x）的解析式，根據對數的真數需大于0，進而可得x的范圍．
（3）根據g（x）在上恒成立，對于g（x）的解析式只需（x+1）（ax+1）＞1，進而根據x的范圍求得a的范圍．
點評：本題主要考查了函數奇偶性的應用．函數的奇偶性，單調性，定義域和值域都是考試常考的內容．