Question

13．某城市理論預(yù)測(cè)2020年到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示

年份202x（年）	0	1	2	3	4
人口數(shù) y（十萬）	5	7	8	11	19

（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）據(jù)此估計(jì)2025年該城市人口總數(shù)．
參考數(shù)值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，0²+1²+2²+3²+4²=30，
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式 $\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（Ⅱ）把x=5代入線性回歸方程求出$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）利用表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（0+1+2+3+4）=2，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（5+7+8+11+19）=10，
計(jì)算回歸系數(shù)$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$
=$\frac{0×5+1×7+…+4×19-5×2×10}{{0}^{2}{+1}^{2}+…{+4}^{2}-5{×2}^{2}}$
=$\frac{132-100}{30-20}$
=3.2，…（3分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=10-3.2×2=3.6，…（6分）
故線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=3.2x+3.6； …（8分）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，把x=5代入線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=3.2x+3.6，
計(jì)算$\stackrel{∧}{y}$=3.2×5+3.6=19.6；
所以預(yù)測(cè)2005年該城市人口總數(shù)為196萬．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．