Question

某同學向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環數記為0）的概率為0.1，飛鏢落在靶內的各個點是隨機的．已知圓形靶中三個圓為同心圓，半徑分別為30cm、20cm、10cm，飛鏢落在不同區域的環數如圖中標示．
（1）若這位同學向圓形靶投擲3次飛鏢，求恰有2次落在9環區域內的概率；
（2）記這位同學投擲一次得到的環數為隨機變量X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

解：（1）由題意可知，飛鏢落在靶內各個區域的概率與它們的面積成正比，而與它們的質量和形狀無關．
由圓的半徑值可得到三個同心圓的半徑之比為3：2：1，面積比為9：4：1，
所以8環區域、9環區域、10環區域的面積比為5：3：1，
則擲得8環、9環、10環的概率分別設為5k，3k，k
根據離散型隨機變量分布列的性質有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． …（3分）
所以，這位同學向圓形靶投擲1次飛鏢，落在9環區域內的概率為0.3，
設向圓形靶投擲3次飛鏢，恰有2次落在9環區域內為事件A，則P（A）=．…（6分）
（2）隨機變量X的取值為0，8，9，10，…（7分）
P（x=0）=0.1，P（x=8）=0.5，P（x=9）=0.3，P（x=10）=0.1，
所以，離散型隨機變量X的分布列為：

X	0	8	9	10
P	0.1	0.5	0.3	0.1

…（11分）
E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． …（12分）
分析：（1）求得8環區域、9環區域、10環區域的面積比為5：3：1，可得擲得8環、9環、10環的概率比，根據離散型隨機變量分布列的性質，可求這位同學向圓形靶投擲1次飛鏢，落在9環區域內的概率，從而可求這位同學向圓形靶投擲3次飛鏢，求恰有2次落在9環區域內的概率；
（2）確定變量的取值，求出相應的概率，從而可得分布列與期望．
點評：本題考查幾何概型，考查離散型隨機變量分布列的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．