Question

【題目】對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①函數在區間內是單調函數；②當定義域為時，的值域也是，則稱是該函數的和諧區間.

（1）求證：函數不存在和諧區間；

（2）已知：函數有和諧區間，當變化時，求出的最大值；

（3）易知，函數是以任一區間為它的“和諧區間”，試再舉一例有和諧區間的函數，并寫出它的個和諧區間（不需要證明，但是不能用本題已經討論過的以及形如的函數）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）和諧區間為.

【解析】

（1）由題知函數的定義域為，設是已知函數定義域的子集，得到函數在上單調遞增.再假設是函數的“和諧區間”，則，通過判斷方程無實數根得到函數不存在“和諧區間”.

（2）設是函數定義域的子集，得到函數在上單調遞增，是方程的同號的不相等的實數根.利用一元二次方程有兩個不相等的實數根可得到或.所以，由二次函數的性質即可求出最大值.

（3）可以舉例常見的基本初等函數，如.

（1）設是已知函數定義域的子集.

因為，所以或.

所以函數在上單調遞增.

若是函數的“和諧區間”，則.

所以是方程的同號的不相等的實數根.

又因為無實數根，

所以函數不存在“和諧區間”.

（2）設是已知函數定義域的子集.

因為，所以或.

所以函數在上單調遞增.

若是函數的“和諧區間”，則.

所以是方程的同號的不相等的實數根.

整理得：是方程的同號的不相等的實數根.

因為，

所以同號，只需滿足

即或時，已知函數又“和諧區間”.

因為，

所以當時，.

（3）例如：函數，“和諧區間”為.