Question

已知直角梯形，是邊上的中點（如圖甲），，，，將沿折到的位置，使,點在上，且（如圖乙）

（Ⅰ）求證：平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）

試題分析：先證，且，平面ABCD；根據幾何法或向量法求出二面角E?AC?D的余弦值.
試題解析：
（Ⅰ）證明：在題圖中，由題意可知，
，ABCD為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為，且，
所以平面SAB，               （3分）
又平面SAB，所以，且，
所以平面ABCD.                 （6分）
（Ⅱ）解：方法一： 如圖，在AD上取一點O，使，連接EO．

因為，所以EO//SA ，                  （7分）
所以平面ABCD，過O作于H，連接EH，
則平面EOH，所以．
所以為二面角E?AC?D的平面角，           （9分）
. 在Rt△AHO中，
.            （11分）
所以二面角E?AC?D的余弦值為．              （12分）
方法二：以A為原點建立空間直角坐標系，如圖，


，            （7分）
易知平面ACD的法向量為，
設平面EAC的法向量為，
，                （9分）
由 所以 可取 
所以，                    （11分）
所以，
所以二面角E?AC?D的余弦值為．              （12分）