Question

已知f（x）=

2

x2

，
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明；
（2）若

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數的單調性的定義即可證明；
（2）因為

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立?[

2

x2

]max＜a，x∈[1，+∞）．再利用（1）的單調性求出即可．

解答：解：（1）函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．
證明如下：
任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2

x 2 1

-

2

x 2 2

=

2 (x 2 2 -x 2 1 )

x 2 1 x 2 2

=

2(x2+x1)(x2-x1)

x12x22

=

2(x2+x1)(x2-x1)

x 2 1 x 2 2

．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（2）

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立?[

2

x2

]max＜a，x∈[1，+∞）．
由（1）知，f（x）的單調減區間為（0，+∞），
∴函數f（x）在[1，+∞）上是減函數，
∴函數f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=2．
∴a＞2

點評：熟練掌握證明函數單調性的方法和對恒成立問題正確轉化是解題的關鍵．