Question

我們把具有以下性質的函數f（x）稱為“好函數”：對于在f（x）定義域內的任意三個數a，b，c，若這三個數能作為三角形的三邊長，則f（a），f（b），f（c）也能作為三角形的三邊
長．現有如下一些函數：
①f(x)=

x

②f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函數”的序號有（　　）

A．①②

B．①②③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：根據“好函數”的定義，可以證出①②③的函數都滿足條件，是“好函數”；而④可以通過舉出反例，得到它不滿足條件，故不是“好函數”．由此得到本題的答案．

解答：解：①設a、b、c∈（0，+∞）且a+b＞c
則（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

＞c，可得

a

+

b

＞

c

，
同理有

b

+

c

＞

a

，

c

+

a

＞

b

，所以f(x)=

x

是“好函數”；
②設a、b、c∈（0，

1

2

）且a+b＞c
則（1-a）+（1-b）＞1＞1-c，同理可得（1-b）+（1-c）＞1-a，（1-c）+（1-a）＞1-b，
所以f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)是“好函數”；
③設a、b、c∈（0，1）且a+b＞c
（i）若a≤ln2且b≤ln2，則e^a+e^b≥2

ea+b

∵ln2≥

1

2

(a+b)，∴2≥e

a+b

2

即2≥

ea+b

由此可得e^a+e^b≥

ea+b

•

ea+b

=e^a+b＞e^c
（ii）若a、b中至少有一個大于ln2，不妨設a＞ln2
則e^a+e^b＞e^ln2+e⁰=2+1=3，而e^c＜e¹＜3
∴e^a+e^b＞e^c，
綜上所述，得e^a+e^b＞e^c，同理可得e^b+e^c＞e^a，e^c+e^a＞e^b．
因此f（x）=e^x，x∈（0，1），是“好函數”；
④設a、b、c∈（0，π），取a=

π

3

，b=

2π

3

，c=

π

2

得sina=sinb=

3

2

，sinc=1．雖然a+b＞c，但是sina+sinb=sinc，
不滿足“好函數”的定義，故f（x）=sinx，x∈（0，π），不是“好函數”．
故選：B

點評：本題給出“好函數”的定義，要我們找出滿足條件的函數．著重考查了基本初等函數的性質、不等式的證明和簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．