Question

我們把具有以下性質的函數f（x）稱為“好函數”：對于在f（x）定義域內的任意三個數a，b，c，若這三個數能作為三角形的三邊長，則f（a），f（b），f（c）也能作為三角形的三邊長．現有如下一些函數：
①f(x)=

x

②f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函數”的序號有

①②③

．

Answer 1

分析：任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，
①

a

+

b

＞

a+b

＞

c

，可得函數f（x）是“好函數”；
②作差，驗證f（a）+f（b）＞f（c），可得函數f（x）是“好函數”；
③ea+eb＞2

ea+b

=2

ec

，若2

ec

＞ec，即e^c＜4，由c∈（0，1），可得結論成立；
④若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞sinc，結論不一定成立．

解答：解：任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，不妨設c是最大邊，且a+b＞c
①f(x)=

x

，∵

a

+

b

＞

a+b

＞

c

，∴函數f（x）是“好函數”；
②f（x）=1-x，∵f（a）+f（b）-f（c）=1+c-（a+b），a，b，c∈（0，

1

2

），∴f（a）+f（b）-f（c）＞0，∴f（a）+f（b）＞f（c），∴函數f（x）是“好函數”；
③f（x）=e^x，ea+eb＞2

ea+b

=2

ec

，若2

ec

＞ec，即e^c＜4，∵c∈（0，1），∴結論成立，∴函數f（x）是“好函數”；
④f（x）=sinx，若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞sinc，則∵x∈（0，π），-π＜a-b＜c，∴結論不一定成立，∴函數f（x）不是“好函數”；
故答案為：①②③

點評：本題主要考查進行簡單的合情推理、三角函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．