Question

設數列的前n項和為，已知， ，
（1）求數列的通項公式；
（2）若，數列的前n項和為，，證明：.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等比數列的通項公式、配湊法求通項公式、錯位相減法求和等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力，考查轉化能力和計算能力.第一問，已知條件中只有一個等式，利用，用代替式子中的，得到一個新的表達式，兩個式子相減得到，再用配湊法，湊出等比數列，求出數列的通項公式；第二問，利用第一問的結論，先化簡表達式，再利用錯位相減法求數列的前n項和，最后的結果與2比較大小.
試題解析：（Ⅰ）∵，當時
∴              2分
∴　即　 （）　　
又　∴　∴　　
∴　　即　　　　　　　　            6分
（Ⅱ）∵　　∴      8分
∴，　
∴            12分求；2 配湊法求通項公式；3 等比數列的通項公式；4 錯位相減法