Question

已知圓C的圓心在射線y=2x（x≥0）上，且與x軸相切，被y軸所截得的弦長為2

3

，則圓C的方程是（　　）

A．（x-2）²+（y-4）²=20

B．（x-2）²+（y-4）²=16

C．（x-1）²+（y-2）²=1

D．（x-1）²+（y-2）²=4

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，過C作CD⊥y軸，交y軸于點D，連接AC，CM，由垂徑定理得到AD=

1

2

AB=

3

，設C坐標（a，b），可得出CD=a，CA=CM=b，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出關于a與b的方程，再將C坐標代入y=2x中得到關于a與b的另一個方程，聯立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，確定出C的坐標，而圓C與x軸相切，得到C的縱坐標即為圓的半徑，寫出圓的標準方程即可．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，
過C作CD⊥y軸，交y軸于點D，連接AC，CM，
由垂徑定理得到AD=

1

2

AB=

3

，
設圓心C坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），可得CD=a，CA=CM=b，
把C坐標代入y=2x得：2a=b①，
在Rt△ACD中，根據勾股定理得：a²+（

3

）²=b²②，
①代入②得：a²+3=4a²，
解得：a=1，b=2，
∴圓心C（1，2），
∵圓C與x軸相切，∴半徑r=2，
則圓C方程為（x-1）²+（y-2）²=4．
故選D

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：切線的性質，坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理，以及圓的標準方程，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．