Question

已知圓C的圓心在射線3x-y=0（x≥0）上，圓C與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）點為圓C上任意一點，不等式x+y+m≥0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意設圓心坐標為（a，3a）（a＞0），由圓與x軸相切，得到半徑為|3a|，進而表示出圓C的標準方程，由垂徑定理及勾股定理表示出圓心到直線y=x的距離d，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=x的距離，兩者相等列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出圓C的方程；
（2）由（1）求出的圓C方程，設x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），代入已知的不等式中，分離出m，去括號整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由不等式恒成立得到m大于等于-x-y的最大值，由正弦函數的值域確定出-x-y的最大值，即可得到滿足題意m的范圍．

解答：解：（1）依題設圓心坐標（a，3a）（a＞0），
∵圓與x軸相切，∴圓的半徑R=|3a|，
∴圓C的方程可設為（x-a）²+（y-3a）²=9a²，
∵R=|3a|，弦長為2

7

，
∴圓心到直線y=x的距離d=

(3a)2-( 7 )2

=

9a2-7

，
由點到直線的距離公式得：d=

|a-3a|

2

，
∴

9a2-7

=

|a-3a|

2

，
解得：a=±1，
又a＞0，∴a=1，
則圓C方程為（x-1）²+（y-3）²=9；
（2）設x=1+3cosθ，y=3+3sinθ（θ∈[0，2π]），
則m≥-x-y=-（1+3cosθ）-（3+3sinθ）=-4-3sinθ-3cosθ=-4-3

2

sin（θ+

π

4

），
∵對任意θ∈[0，2π]恒成立，∴m≥（-x-y）_max，
∵（-x-y）_max=-4+3

2

，
∴m≥-4+3

2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，圓的極坐標方程，不等式恒成立問題，以及正弦函數的定義域與值域，是一道綜合性較強的題．