Question

已知數(shù)列 {a_n}，其中a₂=6且 

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求

lim

n→∞

（

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

 ）．

Answer 1

分析：（1）由a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，可求得a₁=1，a₃=15，a₄=28．
（2）由（1）可猜想a_n=n（2n-1），然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（3））先用裂項(xiàng)法求得

1

an-n

=

1

2

[

1

n-1

-

1

n

]，從而得到

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

=

1

2

（1-

1

n

），再取極限即可得答案．

解答：解：（1）∵a₂=6且 

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，
∴

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a，4+a3-1

a4-a3+1

=3，..1′
解得a₁=1，a₃=15，a₄=28，…3′
（2）由此猜想a_n=n（2n-1）…4′
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1×（2×1-1）=1，結(jié)論正確；
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2×（2×2-1）=6，結(jié)論正確；…5′
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論正確，即a_k=k（2k-1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，
∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-（k+1）
=（k+1）k（2k-1）-（k+1）
=（k+1）（2k²-k-1）
=（k+1）（2k+1）（k-1），
∵k-1≠0，
∴a_k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論正確…7′
由①②可知，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n（2n-1）…8′
（3）∵

1

an-n

=

1

2n(n-1)

=

1

2

[

1

n-1

-

1

n

]…10′
∴

lim

n→∞

（

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

 ）=

lim

n→∞

1

2

（1-

1

n

）=

1

2

…12′

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，歸納猜想出a_n=n（2n-1）是關(guān)鍵，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的證明與裂項(xiàng)法求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．