Question

已知函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，當x∈[-2，0）時，f(x)=tx-

1

2

x3（t為常數）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當t∈[2，6]時，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值時的x，并猜想f（x）在[0，2]上的單調遞增區間（不必證明）；
（3）當t≥9時，證明：函數y=f（x）的圖象上至少有一個點落在直線y=14上．

Answer 1

分析：（1）設x∈（0，2]?-x∈[-2，0）?f(-x)=-tx+

1

2

x3，由f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函數的性質可知f（0）=0，從而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知f(x)=x(t-

1

2

x2)＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，f2(x)=x2(t-

x2

2

)(t-

x2

2

)≤

(x2+t- x2 2 +t- x2 2 )3

3

=

8t3

27

（當x 2= 

2t

3

時取等號）
（3）利用單調性的定義（或導數法）判斷函數在[-2，2]上單調性，從而確定函數的值域，然后證明14在值域內即可

解答：解：（1）x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），則f(-x)=t(-x)-

1

2

(-x)3=-tx+

1

2

x3，
∵函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，即f（-x）=-f（x），
∴-f(x)=-tx+

1

2

x3，即f(x)=tx-

1

2

x3，又可知f（0）=0，
∴函數f（x）的解析式為f(x)=tx-

1

2

x3，x∈[-2，2]；
（2）f(x)=x(t-

1

2

x2)，∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴t-

1

2

x2≥0，f（x）＜0
∵[f(x)]2=x2(t-

1

2

x2)2≤(

x2+t- 1 2 x2+t- 1 2 x2

3

)3=

8t3

27

，∴x2=t-

1

2

x2，
即x2=

2t

3

，x=-

6t

3

(-

6t

3

∈[-2，0])時，fmin=-

2 6

9

t

t

．
猜想f（x）在[0，2]上的單調遞增區間為[0，

6t

3

]．
（3）t≥9時，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-

1

2

(x12+x1x2+x22)]＜0，
∴f（x）在[-2，2]上單調遞增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴當t≥9時，函數y=f（x）的圖象上至少有一個點落在直線y=14上．

點評：本題綜合考查函數的解析式的求解、利用均值不等式求函數的最值、及利用定義或導數法判斷函數的單調性，在利用均值不等式求最值時，要注意驗證各項的符號及等號成立的條件．