Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）設b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），證明{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先整理出所給的遞推式，向要求的數列表現形式方向整理，結果發現要求數列的表達式，數列后一項與前一項之比是一個常數，所以數列是等比數列．
（2）由（1）所得的結論，寫出數列的通項公式，仿寫一系列式子，用疊加的方法得到通項的表示式，在表示式中出現等比數列的求和，一定要注意的是，公比與1的關系．
解答：解：（1）證明：由題設a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得
a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），
即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
所以{b_n}是首項為1，公比為q的等比數列．
（2）由（1）可得數列{b_n}的通項公式b_n=q^n-1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴a_n-a_n-1=q^n-2，
…
a₂-a₁=1，
把上述各式相加，得到a_n-a₁=q^n-2+q^n-3+…+q
∴a_n=
點評：凡是有關等比數列前n項Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應用所給的條件是成敗的關鍵．