Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+b

2x+1+ a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并加以證明；
（3）當(dāng)t∈[-1，2]時，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用特殊值：f（0）=0且f（-1）=-f（1），建立關(guān)于a、b的等式并解得a=2，b=1，再將其代入函數(shù)表達(dá)式加以檢驗即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差，再通分整理，可得這個差是一個正數(shù)，從而得到f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式3t²-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法結(jié)合根的判別式，可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為R，所以f（0）=

-20+b

2 + a

=0，可得b=1，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+ a

，取f（-1）=-f（1）得

-2-1+1

20+ a

=-

-21+1

22+ a

，解之得a=2
因此，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

，滿足f(-x)=

-2-x+1

2-x+1+ 2

=-

-2x+1

2x+1+ 2

=-f（x），符合題意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

=-

1

2

+

2

2x+1

，設(shè)x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

2

2x1+1

-（-

1

2

+

2

2x2+1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在實數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0且2x2+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）．

點評：本題給出一個含有指數(shù)式的分式形式的函數(shù)，叫我們討論它的單調(diào)性與奇偶性，著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查了一元二次不等式恒成立問題等知識，屬于中檔題．