Question

已知橢圓C以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為（1，0），點(

3

2

，

6

2

)在橢圓上，直線l過橢圓的右焦點與橢圓交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若線段MN的垂直平分線過點(0，

1

5

)，求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知c=1，由點(

3

2

，

6

2

)在橢圓上，知b²=2，a²=3，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當k不存在時，MN的垂直平分線為x軸，不過點(0，

1

5

)，不合題意．設直線y=k(x-1)∴

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

，（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，然后由韋達定理進行求解．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1∴c=1∴a2=b2+1∵點(

3

2

，

6

2

)在橢圓上，
∴

3 4

a2

+

6 4

b2

=1…3分∴4b4-5b2-6=0∴b2=2，a2=3∴

x2

3

+

y2

2

=1…6分
（Ⅱ）當k不存在時，MN的垂直平分線為x軸，不過點(0，

1

5

)，不合題意．…（7分）
設直線y=k(x-1)∴

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

∴（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0…（8分）∴x1+x2=

6k2

2+3k2

，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-

4k

2+3k2

∴MN的中點為(

3k2

2+3k2

，-

2k

2+3k2

)…10分∴

-2k 2+3k2 - 1 5

3k2 2+3k2

=-

1

k

∴3k2-5k+2=0∴k=

2

3

或k=1∴y=

2

3

(x-1)或y=x-1…13分

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關系的應用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．