Question

已知函數f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：將函數f（x）的解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，合并后提取-2，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（1）根據正弦函數的單調遞減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數f（x）的單調遞增區間；
（2）由f（x）的解析式，將x=A代入表示出f（A），由正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡后，根據sinA不為0得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，進而得到A+C的度數，得出A的取值范圍，根據正弦函數的圖象與性質得出此時正弦函數的值域，進而確定出f（A）的取值范圍．

解答：解：f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x-1
=-sin2x-

3

cos2x
=-2sin（2x+

π

3

），
（1）∵正弦函數的單調遞減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
則函數f（x）的遞增區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（2）f（A）=-2sin（2A+

π

3

），
將（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
又B為三角形的內角，∴B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即0＜A＜

2π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1＜sin（2A+

π

3

）＜1，
則f（A）的取值范圍是（-2，2）．

點評：此題考查了正弦定理，正弦函數的單調性，正弦函數的定義域與值域，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．