Question

拋物線的頂點在原點，它的準線過橢圓:的一個焦點，并與橢圓的長軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個交點為.

（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（2）若雙曲線與橢圓共焦點，且以為漸近線，求雙曲線方程．

Answer 1

解：⑴設拋物線方程為y² = 2px，∵在拋物線上，

∴ = 2p×(−)得2p=−4，拋物線方程為y²= -4x            ………………………………3分

由題意得a²−b²=1                       ①

在橢圓上，∴    ②

由①②得a²=4  b²=3，即橢圓方程為             ………………………………8分

⑵橢圓的焦點（±1,0），設雙曲線方程為

∵漸近線方程為，∴ =      ①

a²+b²=1                             ②

由①②得a² = ，b² =，即雙曲線方程為     …………………………14分