Question

已知數列{a_n}中，a₂=p（p是不等于0的常數），S_n為數列{a_n}的前n項和，若對任意的正整數n都有S_n=

n(an-a1)

2

．
（1）證明：數列{a_n}為等差數列；
（2）記b_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）記c_n=T_n-2n，是否存在正整數N，使得當n＞N時，恒有c_n∈（

5

2

，3），若存在，請證明你的結論，并給出一個具體的N值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數列的遞推關系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通過一步步代換求出數列的通項公式，最后看是否滿足等差數列的定義即可證明結論．
（2）先對數列的通項整理得b_n=2+2（

1

n

-

1

n+2

），再利用分組求和法求數列{b_n}的前n項和T_n即可；
（3）先由c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）知其小于3對所有正整數n都成立；下面把c_n＞

5

2

轉化為

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，利用函數的單調性求出滿足條件的n的范圍即可求出對應的N值．

解答：解：（1）由S₁=a₁=

a1-a1

2

=0得a₁=0，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

n-1

2

a_n-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故當n＞2時，a_n=

n-1

n-2

a_n-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

••

4

3

•

3

2

•

2

1

•a₂=（n-1）p，
由于n=2時a₂=p，n=1時a₁=0，也適合該式，故對一切正整數n，a_n=（n-1）p，a_n+1-a_n=p，
由于p是常數，故數列{a_n}為等差數列．
（2）S_n=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

，
bn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）．
（3）c_n=T_n-2n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3對所有正整數n都成立；
若c_n＞

5

2

，即3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＞

5

2

?

1

n+1

+

1

n+2

＜

1

4

，
記f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

，
則f（n）單調遞減，又
f（6）=

1

7

+

1

8

＞

1

8

+

1

8

=

1

4

，
f（7）=

1

8

+

1

9

＜

1

8

+

1

8

=

1

4

，
故只要取N=6，則當n＞N時，f（n）＜

1

4

．
故存在正整數N，使得當n＞N時，恒有c_n∈（

5

2

，3）．N可以取所有不小于6的正整數．

點評：本題主要考查數列的求和以及數列的遞推關系式的應用和數列與不等式的綜合，是對知識的綜合考查，屬于難題．