Question

設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A=

2π

3

，a=2bcosC，求：
（Ⅰ）角B的值；
（Ⅱ）函數f（x）=sin2x+cos（2x-B）在區間[0，

π

2

]上的最大值及對應的x值．

Answer 1

分析：（I）由2a=bcosC考慮利用正弦定理可得sinA=2sinBcosC，而A=B+C，代入整理可求B
（II）利用輔助角公式對函數化簡可得，f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)，結合已知x∈[0，

π

2

]及正弦函數的性質可求

解答：解：（Ⅰ）由2a=bcosC，得sinA=2sinBcosC
∵A=π-（B+C）∴sin（B+C）=2sinBcosC，整理得sin（B-C）=0
∵B、C是△ABC的內角，∴B=C又由A=

2π

3

，∴B=

π

6

（Ⅱ）f(x)=sin2x+cos(2x-

π

6

)=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin(2x+

π

6

)
由0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴y_max=

3

，此時2x+

π

6

=

π

2

，x=

π

6

點評：本題主要考查了正弦定理及三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式在解三角形中的應用，還考查了輔助角公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）的應用及正弦函數的性質的應用．