Question

設(shè)函數(shù)，，若對于任意x₁∈，總存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立．則正整數(shù)a的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：此題考查的是函數(shù)的值域的問題．在解答時可以先利用f（x）的條件轉(zhuǎn)化出在上的值域，然后結(jié)合函數(shù)g（x）的性質(zhì)找出函數(shù)g（x）在對應(yīng)的范圍，從而獲的a的關(guān)系式，找出a的最小值．
解答：解：由題意可知：，令導(dǎo)數(shù)大于0，可解得-1＜x＜1，所以函數(shù)在上是增函數(shù)
∴，
又∵，
∴g′（x）=3x²-3a，當(dāng)a是正整數(shù)時，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函數(shù)在是減函數(shù)，
所以∈[1-，]
又對于任意x₁∈，總存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴⊆[1-，]即同時成立，解得a≥
所以正整數(shù)a的最小值為2．
故答案為：2．
點評：此題考查的是函數(shù)的值域的問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想、恒成立的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．