Question

（本小題滿分14分）

已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然對數的底數）。

（I）求實數b的值；

（II）求函數f（x）的單調區間；

（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m<M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由。

Answer 1

本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，滿分14分。

解：（I）由

（II）由（I）可得

從而

，故：

（1）當

（2）當

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為（0，1）；

當時，函數的單調遞增區間為（0，1），

單調遞減區間為。

（III）當a=1時，

由（II）可得，當x在區間內變化時，的變化情況如下表：

		-	0	+
		單調遞減	極小值1	單調遞增	2

又的值域為[1，2]。

據經可得，若，則對每一個，直線y=t與曲線都有公

共點。

并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點。

綜上，當a=1時，存在最小的實數m=1，最大的實數M=2，使得對每一個，直線y=t

與曲線都有公共點。