Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=DC=2，AB=1，AD⊥DC，AB∥CD．
（1）設E為DC的中點，求證：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直四棱柱平行四邊形的性質、線面平行的判定定理即可得出；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角．

解答：（1）證明：如圖所示，連接BE．
∵E為DC的中點，∴DE=

1

2

DC=1．
∵AB=1，∴DE=AB．
又∵AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE

∥

.

AD．
由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可得AD

∥

.

A1D1．
∴A1D1

∥

.

BE．
∴四邊形BED₁A₁是平行四邊形．
∴D₁E∥A₁B．
又D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD；
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，1，0），A₁（2，0，3），C₁（0，2，3）．
∴

DA1

=（2，0，3），

DB

=（2，1，0），

DC1

=（0，2，3）．
設平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • DB =2x+y=0 n • DA1 =2x+3z=0

，令z=2，則x=-3，y=6．
∴

n

=（-3，6，2）．
設平面DBC₁的法向量為

m

，同理可得

m

=（3，-6，4）．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

-9-36+8

49 • 61

=-

37 61

427

．
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

37 61

427

．

點評：熟練掌握直四棱柱平行四邊形的性質、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的平面角等是解題的關鍵．