Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB∥CD，AB=AD=1，D₁D=CD=2，AB⊥AD．
（I）求證：BC⊥面D₁DB；
（II）求D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是否存在一點F，使F到平面D₁BC的距離為

3

3

，若存在，則指出該點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）要證BC⊥面D₁DB，只需證明直線BC垂直面D₁DB內的兩條相交直線D₁D、DB即可；
（II）取DC中點E，連接BE，D₁E．說明∠BD₁E為所求角，然后求D₁B與平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是存在一點F，使F到平面D₁BC的距離為

3

3

，設BF=x，利用VF-D1BC=VC-D1BF求出x的值，即可．

解答：解：（ I）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D₁D．
∵AB∥CD，AB⊥AD．
∴四邊形ABCD為直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（4分）
（II）取DC中點E，連接BE，D₁E．
∵DB=BC，
∴BE⊥CD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴ABCD⊥D₁DCC₁．
∴BE⊥D₁DCC₁．
∴D₁E為D₁B在平面D₁DCC₁上的射影，
∴∠BD₁E為所求角．
在Rt△D₁BE中，BE=1，D1E=

5

．tan∠BD1E=

BE

D1E

=

5

5

．
∴所求角為arctan

5

5

．（9分）
（Ⅲ）假設B₁B存在點F，設BF=x，
∵VF-D1BC=VC-D1BF，BC⊥平面D₁BF，
∴

1

3

S△D1BC•

3

3

=

1

3

S△D 1BF•BC．
∵在△D1BC中，BC⊥D1B，D1B=

6

，BC=

2

，
∴S△D1BC=

1

2

D1B•BC=

1

2

×

6

×

2

=

3

．
又S△D1BF=

1

2

BF•D1B1=

1

2

×x×

2

=

2

2

x，
∴

1

3

3

•

3

3

=

1

3

•

2

2

x•

2

?x=1．
即存在點F為B₁B的中點．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角等知識，考查學生發現問題解決問題的能力，邏輯思維能力，是中檔題．