Question

已知△OAB的頂點坐標為O（0，0），A（2，9），B（6，-3），點P的橫坐標為14，且

OP

=λ

PB

，點Q是邊AB上一點，且

OQ

•

AP

=0．
（1）求實數λ的值與點P的坐標；
（2）求點Q的坐標；
（3）若R為線段OQ上的一個動點，試求

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設P（14，y），分別表示

OP

，

PB

然后由

OP

=λ

PB

，建立關于y的方程可求y．
（2）先設點Q（a，b），則可表示向量

OQ

，由

OQ

•

AP

=0，可得3a=4b，再由點Q在邊AB上可得

12

-4

=

b+3

a-6

①②，從而可解a，b，進而可得Q的坐標．
（3）由R為線段OQ上的一個動點可設R（4t，3t），且0≤t≤1，則有分別表示

RO

，

RA

+

RB

，由向量的數量積整理可得

RO

•(

RA

+

RB

)=50t2-50t，利用二次函數的知識可求取值范圍．

解答：解：（1）設P（14，y），則

OP

=(14，y)，

PB

=(-8，-3-y)，由

OP

=λ

PB

，得（14，y）=λ（-8，-3-y），解得λ=-

7

4

，y=-7，所以點P（14，-7）．
（2）設點Q（a，b），則

OQ

=(a，b)，又

AP

=(12，-16)，則由

OQ

•

AP

=0，得3a=4b①又點Q在邊AB上，所以

12

-4

=

b+3

a-6

，即3a+b-15=0②
聯立①②，解得a=4，b=3，所以點Q（4，3）．
（3）因為R為線段OQ上的一個動點，故設R（4t，3t），且0≤t≤1，則

RO

=(-4t，-3t)，

RA

=(2-4t，9-3t)，

RB

=(6-4t，-3-3t)，

RA

+

RB

=(8-8t，6-6t)，則

RO

•(

RA

+

RB

)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t=50(t-

1

2

)2-

25

2

(0≤t≤1)，故

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范圍為[-

25

2

，0]．

點評：平面向量與函數的綜合問題中，向量的數量積、向量的平行一般是作為轉化的基本工具，最后轉化為函數的問題，二次函數在閉區間上的最值是求解是函數性質應用中容易出現錯誤的地方．