Question

設方程acosx+bsinx+c=0在（0，π）內有兩個相異的實根α、β，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：先將α、β代入方程后相減，然后根據和差化積公式求出tan

α+β

2

的值，再由萬能公式可得答案．

解答：解：∵方程acosx+bsinx+c=0在（0，π）內有兩個相異的實根α、β
∴acosα+bsinα+c=0  ①
acosβ+bsinβ+c=0    ②
∴方程①-②得a（cosα-cosβ）+b（sinα-sinβ）=0
即a×（-2sin

α+β

2

sin

α-β

2

）+b（2cos

α+β

2

sin

α-β

2

）=0
∴2sin

α-β

2

（bcos

α+β

2

-asin

α+β

2

）=0
∵α≠β∴sin

α-β

2

≠0
∴bcos

α+β

2

-asin

α+β

2

=0∴tan

α+β

2

=

b

a

∴sin（α+β）=

2tan α+β 2

1+tan2 α+β 2

=

2ab

a2+b2

點評：本題主要考查和差化積公式和萬能公式的應用．三角函數部分公式比較多，要強化記憶．