Question

滿足條件AB=2，AC=

2

BC的三角形ABC的面積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：設BC=x，根據面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達式，進而得到關于x的三角形面積表達式，再根據x的范圍求得三角形面積的最大值．

解答：解：設BC=x，則AC=

2

x，
根據面積公式得S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB
=

1

2

×2x

1-cos2B

，
根據余弦定理得cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

4+x2-( 2 x)2

4x

=

4-x2

4x

，
代入上式得
S_△ABC=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

，
由三角形三邊關系有

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，
解得2

2

-2＜x＜2

2

+2．
故當x=2

3

時，S_△ABC取得最大值2

2

．

點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題．