Question

已知實數a、b、c滿足條件ab+bc+ca=1，給出下列不等式：①a²b²+b²c²+c²a²≥1；②

1

abc

≥2

3

；③（a+b+c）²＞2；④a2bc+ab2c+abc2≤

1

3

；其中一定成立的式子有

③④

．

Answer 1

分析：利用不等式的性質以及均值不等式，逐一排除，不成立的可以舉反例，成立的用性質判斷．

解答：解：∵當a=b=c=

3

3

時，①不成立，∴排除①
當a=2，b=3，c=-1時，②不成立，∴排除②
∵而（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）=3＞2，∴③成立
∵（ab+bc+ac）²≥3[（ab）（bc）+（bc）（ca）+（ca）（ab）]=3（a²bc+ab²c+abc²），∴④成立
故答案為③④

點評：本題主要考查了不等式的性質的應用，屬于基礎題．