Question

函數y=f（x）滿足f（x+2）=-f（x），當x∈（-2，2]時，f（x）=|x|-1，則f（x）在[0，2012]上零點的個數為

1006

．

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x）可得，函數f（x）的周期是4，當x∈（-2，2）時，由f（x）=|x|-1=0解得x=±1，由周期性可得f（3）=0及f（x）=0在[0，2012]上的解的個數．

解答：解：由f（x+2）=-f（x）可得，f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴4是函數f（x）的周期．
當x∈（-2，2）時，由f（x）=|x|-1=0解得x=±1，∵f（3）=f（-1+4）=f（-1）=0，∴f（x）=0在[0，4]上有兩個解，
又函數f（x）的最小正周期是4，∴f（x）=0在[0，2012]上解的個數是1006，即f（x）在[0，2012]上零點的個數是1006．
故答案為1006．

點評：本題考查函數的零點個數問題、函數的周期性的應用，考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題．