Question

（2012•許昌縣一模）設函數y=f（x）的定義域為D，若函數y=f（x）滿足下列兩個條件，則稱y=f（x）在定義域D上是閉函數．①y=f（x）在D上是單調函數；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域為[a，b]．如果函數f（x）=

2x+1

+k為閉函數，則k的取值范圍是（　　）

• A．（-1，-

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ，1?
• C．（-1，+∞）
• D．（-∞，1）

Answer 1

分析：若函數f（x）=

2x+1

+k為閉函數，則存在區間[a，b]，在區間[a，b]上，函數f（x）的值域為[a，b]，即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的兩個不相等的實數根，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：若函數f（x）=

2x+1

+k為閉函數，則存在區間[a，b]，
在區間[a，b]上，函數f（x）的值域為[a，b]，
即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，
∴a，b是方程x=

2x+1

+k的兩個實數根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的兩個不相等的實數根，
當k≤-

1

2

時，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(- 1 2 )= 1 4 + 1 2 (2k+2)+k2-1≥0   2k+2 2 ＞- 1 2

，解得-1＜k≤-

1

2

．
當k＞-

1

2

時，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(k)=k2-(2k+2)k+k2-1＞0 2k+2 2 ＞k

，無解．
故k的取值范圍是（-1，-

1

2

]．
故選A．

點評：本題考查函數的單調性及新定義型函數的理解，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．