Question

給出若干數字按如圖所示排成三角形，其中最后一行各數依次是1，2，3，…，n，從倒數第二行起直到第一行，每個數分別等于下一行左、右兩數之和，第一行只有一個數M，這個數M叫n階“金字數”，當n=2013時，“金字數”M為（ ）

A．2011×2²⁰¹¹
B．2012×2²⁰¹⁰
C．2013×2²⁰¹¹
D．2014×2²⁰¹¹

Answer 1

【答案】分析：法一：設倒數第一，二，三，四行的數列分別為{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，則有b₁+b_n-1=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=2²（a₁+a_n）；d₁+d_n-3=2³（a₁+a_n），如此可得規律，即可得到結論；
法二：觀察數表，可以發現規律：每一行都是等差數列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2010行公差為2²⁰⁰⁹，第2011行只有M，得出M；
法三：從第一行為1，2，3 和1，2，3，4，5的兩個“小三角形”的例子，結合選項歸納得出結果，猜測出M．
解答：解：法一：設倒數第一，二，三，四行的數列分別為{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，則有
b₁+b_n-1=（a₁+a₂）+（a_n-1+a_n）=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=（b₁+b₂）+（b_n-2+b_n-1）=2²（a₁+a_n）；
d₁+d_n-3=（c₁+c₂）+（c_n-3+c_n-2）=2³（a₁+a_n），
如此規律下去，當n=2013時，第2行的首尾兩數之和為2²⁰¹¹（a₁+a_n）=2014×2²⁰¹¹，即M=2014×2²⁰¹¹．
故選D
法二：最后一行公差為1；倒數第二行公差為2；…；第2行公差為2²⁰¹¹，第1行只有M，發現規律，得M=（1+2013）×2²⁰¹¹=2014×2²⁰¹¹．
故選D
法三：從最后一行為1，2，3 及1，2，3，4，5的兩個“小三角形”結合選項歸納得結果為（3+1）×2¹及（5+1）×2³，猜一般為（n+1）×2^n-2．
當n=2013時，“金字數”M=2014×2²⁰¹¹．
故選D．
點評：本題考查了由數表探究數列規律的問題，解答這類問題時，可以由簡單的例子觀察分析，總結規律，得出結論．