Question

已知函數f(x)＝－x³＋ax²－4(a∈R)．
(1)若函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線的傾斜角為，求f(x)在[－1,1]上的最小值；
(2)若存在x₀∈(0，＋∞)，使f(x₀)＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

(1) 最小值為f(0)＝－4   (2) (3，＋∞)

(1)f′(x)＝－3x²＋2ax.
根據題意得，f′(1)＝tan＝1，∴－3＋2a＝1，即a＝2.
∴f(x)＝－x³＋2x²－4，則f′(x)＝－3x²＋4x.
令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝.

x	－1	(－1,0)	0	(0,1)	1
f′(x)		－	0	＋
f(x)	－1	?	－4	?	－3

∴當x∈[－1,1]時，f(x)的最小值為f(0)＝－4.
(2)∵f′(x)＝－3x.
①若a≤0，則當x>0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．
又f(0)＝－4，則當x＞0時，f(x)＜－4.
∴當a≤0時，不存在x₀＞0，使f(x₀)＞0.
②若a＞0，則當0＜x＜時，f′(x)＞0；
當x＞時，f′(x)＜0.
從而f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
∴當x∈(0，＋∞)時，f(x)_max＝f＝－＋－4＝－4.
根據題意得，－4＞0，即a³＞27.∴a＞3.
綜上可知，a的取值范圍是(3，＋∞)．