Question

一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A，B，C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2。

（1）求證：AC⊥BD；
（2）求三棱錐E-BCD的體積。

Answer 1

解：（1）證明：因為EA⊥平面ABC，AC平面ABC，
所以EA⊥AC，即ED⊥AC
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，
所以AC⊥平面EBD
因為BD平面EBD，
所以以AC⊥BD。
（2）因為點A，B，G在圓O的圓周上，且AB⊥AC，
所以BC為圓O的直徑
設圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得
，解得
所以BC=4，AB=AC=
由（1）知，AC⊥平面EBD，
所以
因為EA⊥平面ABC，AB平面ABC，
所以EA⊥AB，即ED⊥AB，
其中ED=EA+DA=2+2=4，
因為AB⊥AC，AB=AC=
所以
所以。