Question

一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A、B、C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．

（1）求證：AC⊥BD；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，結合線面垂直的定義及線面垂直的判定定理，我們易求出AC⊥平面EBD，進而得到答案．
（2）要求三棱錐E-BCD的體積，我們有兩種辦法，
方法一是利用轉化思想，將三棱錐E-BCD的體積轉化為三棱錐C-EBD的體積，求出棱錐的高和底面面積后，代入棱錐體積公式，進行求解；
方法二是根據V_E-BCD=V_E-ABC+V_D-ABC，將棱錐的體積兩個棱次的體積之差，求出兩個輔助棱錐的體積后，得到結論．

解答：（1）證明：因為EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因為BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
（2）解：因為點A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r×2=12.

（6分）
解得

r=2 h=2.

所以BC=4，AB=AC=2

2

．
以下給出求三棱錐E-BCD體積的兩種方法：
方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，
所以VE-BCD=VC-EBD=

1

3

S△EBD×CA．（10分）
因為EA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
所以EA⊥AB，即ED⊥AB．
其中ED=EA+DA=2+2=4，因為AB⊥AC，AB=AC=2

2

，
所以S△EBD=

1

2

×ED×AB=

1

2

×4×2

2

=4

2

．（13分）
所以VE-BCD=

1

3

×4

2

×2

2

=

16

3

．（14分）
方法2：因為EA⊥平面ABC，
所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=

1

3

S△ABC×EA+

1

3

S△ABC×DA=

1

3

S△ABC×ED．（10分）
其中ED=EA+DA=2+2=4，因為AB⊥AC，AB=AC=2

2

，
所以S△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×2

2

×2

2

=4．（13分）
所以VE-BCD=

1

3

×4×4=

16

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式，簡單空間圖形的三視圖，直線與平面垂直的性質，其中根據已知中三視圖的體積，判斷出幾何體中相關幾何量的大小，結合已知中其中量，進而判斷出線面關系是解答本題的關鍵．