Question

數列{a_n}中，a₁=1，其前n項和滿足

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）求S_n的表達式；
（2）設b_n=

Sn

2n+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把a_n=S_n-S_n-1代入

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

），整理得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．由此可知數列{

1

Sn

}是公差為2的等差數列，求得其通項公式后得S_n的表達式；
（2）把S_n代入b_n=

Sn

2n+1

，然后利用裂項相消法求和．

解答： 解：（1）由

S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

）（n≥2），得
Sn+12=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)=Sn2-

1

2

Sn-SnSn-1+

1

2

Sn-1，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
即數列{

1

Sn

}是公差為2的等差數列，
又

1

S1

=

1

a1

=1，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
則Sn=

1

2n-1

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，是中檔題．