Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交于點D，B₁C₁的中點為M，求證：CD⊥平面BDM．

Answer 1

【答案】分析：先以CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系，然后分別確定點B、M、D的坐標，進而確定、、的坐標，再通過計算得向量乘積為0，證得，，則問題得證．
解答：證明：由題意知AC、BC、CC₁兩兩垂直，
則以CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系．
因為CB=，CC₁=AA₁=1，CA=1，M為B₁C₁的中點．
所以B（，0，0），M（，1，0），
又因為點D是矩形AA₁B₁B的兩條對角線的交點，
所以D（，，），
則=（，，），=（-，1，0），=（-，，），
所以=-+=0，=-++=0，
所以，，
又BM∩BD=B，
所以CD⊥平面BDM．
點評：本題考查向量法解決立體幾何問題．