Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-x2-3x+1．
（1）求f′（x）和f′（2）；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）依據求導法則得到f′（x）和f′（2）；
（2）令f′（x）=0，解出x，在函數的定義域內列表判斷，即可求出函數的單調區間；
（3）由（2）根據極值的定義進行判定極值即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）…1
f′（2）=-3         …2
（2）令f'（x）=0，即（x+1）（x-3）=0     解得x=-1或x=3…4
列表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大 8 3	減	極小-8	增

所以，函數f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上是增函數；
在（-1，3）上是減函數   …10
（3）由（2）可得
當x=-1時，函數f（x）取得極大值，且極大值為

8

3

；當x=3時，函數f（x）取得極小值，且極小值為8   …12

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數單調區間等有關基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．