Question

【題目】如圖，設點的坐標分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積為．

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為，點是軌跡為上不同于的兩點，且滿足，求證：的面積為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）直接法求動點軌跡方程：先設動點坐標，根據條件斜率之積為列方程：，化簡整理得標準方程，注意變形過程中的等價性，即純粹性（2）解決解析幾何中定值問題，一般方法為以算代證，即計算出的面積，由平行條件得斜率關系：由得，即得坐標關系；設直線的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得，代入可得，而三角形面積可表示為，將代入化簡得

試題解析：（1）由已知設點的坐標為，由題意知

，

化簡得的軌跡方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）證明：由題意是橢圓上非頂點的兩點，且，

則直線斜率必存在且不為0，又由已知．

因為，所以．．．．．．．．．．．．．．．6分

設直線的方程為，代入橢圓方程，得

．．．．①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

設的坐標分別為，則．．．．．．．．．．．．8分

又，．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

又，

所以，即的面積為定值．．．．．．．．．．．．．．．．．12分