Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導，根據(jù)的不同取值，結(jié)合函數(shù)的定義域，以及二次方程根的情況進行分類討論求解即可；

（2）令，由方程有兩個不相等的實數(shù)根，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點，對求導，然后根據(jù)的不同取值，分類討論最后求出的取值范圍，要證明，可以通過構(gòu)造新函數(shù)，求導，利用新函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

（1）易知的定義域為，且，

時，在上恒正，所以在上單調(diào)遞增，

時，對于，

①當，即時，，在上是增函數(shù)；

②當，即時，有兩個正根，

所以，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減

綜上，時，在上是增函數(shù)，時，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

（2）令，

方程有兩個不相等的實根函數(shù)有兩個零點，

由

定義域為且

①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，不符合題意；

②當時，得，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

要使有兩個零點，則，由解得

此時

易知當時，

，

令，所以，

時，在為增函數(shù)，

在為增函數(shù)，，

所以，即

所以

函數(shù)在與各存在一個零點

綜上所述，.

∴證明證明時，成立

設(shè)，則

易知在上遞減，，在上單調(diào)遞減

，

所以.