Question

有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是

（0，

6

+

2

）

．

Answer 1

分析：根據三棱錐的相對位置，將底面三角形的三邊長分成兩種情形：①當底面是邊長為2的正三角形，三條側棱長為2，a，a此時a取最大值，②當底面三角形的邊長分別為a，2，2，其他各邊長為2，2，a，有最小值，從而求得a的取值范圍．

解答：解：根據三棱錐的相對位置，將底面三角形的三邊長分成兩種情形：
①當底面是邊長為2的正三角形，三條側棱長為2，a，a，如圖1，
此時a取最大值，可知AD=

3

，SD=

a2-1

，
由于SD＜SA+AD，則有

a2-1

＜2+

3

，
即 a2＜8+4

3

=(

6

+

2

)2，即有a＜

6

+

2

②構當底面三角形的邊長分別為a，2，2，其他各邊長為2，2，a，
如圖所示，此時a可以取最大為2

2

任意正數；
綜上則a的取值范圍是（0，

6

+

2

）；
故答案為：（0，

6

+

2

）．

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征、解三角形等基礎知識，考查空間想像能力，分類討論思想，屬于基礎題．