Question

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0.5，－0.5)對(duì)稱；

(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值；

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)P(x，y)是y＝f(x)的圖象上任意一點(diǎn)， 　　關(guān)于(0.5，－0.5)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1－x，－1－y) 　　 　　 　　∴－1－ｙ＝f(1－x)，即函數(shù)ｙ＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0.5，－0.5)對(duì)稱． 　　(2)由(Ⅰ)有f(1－x)＝－1－f(x)即f(x)＋f(1－x)＝－1 　　∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1 　　則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3 　　 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 　　當(dāng)n＝1時(shí)，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立 　　當(dāng)n＝2時(shí)，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立 　　令n＝k(k≥2)不等式成立即3k＞k2 　　則n＝k＋1時(shí)，左＝3k＋1＝3·3k＞3·k2 　　右＝(k＋1)2＝k2＋2k＋1 　　∵3k2－(k2＋2k＋1)＝2k2－2k－1＝2(k－0.5)2－1.5 　　當(dāng)k≥2，k∈N時(shí)，上式恒為正值 　　則左＞右，即3k＋1＞(k＋1)2，所以對(duì)任何自然數(shù)n，總有3n＞n2成立，即對(duì)任何自然數(shù)n，總有bn＞n2成立