Question

已知函數(shù)f(x)＝a－.

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)證明：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝a－，

設(shè)0<x₁<x₂，則x₁x₂>0，x₂－x₁>0.

f(x₁)－f(x₂)＝(a－)－(a－)＝－

＝<0.

∴f(x₁)<f(x₂)，

即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

(2)由題意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，

設(shè)h(x)＝2x＋，則a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．

可證h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．

故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范圍為(－∞，3]．