Question

已知數列{a_n}中，a₂=a+2（a為常數），S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是na_n與na的等差中項．
（1）求a₁，a₃；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理和數學歸納法．（1）由S_n是na_n與na的等差中項．我們可能得到S_n、na_n與na的關系式，從n=1依次代入整數值，再結合a₂=a+2（a為常數），不難給出a₁，a₃；（2）由a₁，a₂，a₃的值與n的關系，我們不難歸納推理出數列的通項公式，觀察到它們是與自然數集相關的性質，故可采用數學歸納法來證明．

解答：解：（1）由已知得Sn=

nan+na

2

，
當n=1時，
S₁=a₁則2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
當n=3時，S₃=a₁+a₂+a₃
則2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（2）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
證明：
①當n=1時，
左邊=a₁=a，
右邊=a+2（1-1）=a，
則當n=1時，等式成立，
當n=2時，
左邊=a₂=a+2=右邊，
故當n=2時，等式成立．
②假設n=K時，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）則當n=K+1時，
a_K+1=S_K+1-S_K=

aK+1+a

2

(k+1)-

ak+a

2

k
∴（K-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

K

K-1

a_k-

a

K-1

將a_K=a+2（K-1）代入得
a_K+1=a+2[（k+1）-1]，
∴當n=K+1時，等式也成立．由①②可知，對任何正整數n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．

點評：本題（2）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．