Question

證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1，n∈N^*且a、b、c互不相

　　等時，均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ。

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=，c=bq(q＞0且q≠1) 　　∴ 　　(2)設a、b、c 為等比數列，則2B=a+C．猜想＞()n (n≥2且n∈N*)。 　　下面用數學歸納法證明。 　　當n=2時，由2()＞2()＞()2， 　　∴ ＞()2 　　設n=k時成立，即＞()k， 　　則n=k+1時，=(ak+1 ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) =(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1 　　∴ 由①②可知，當n＞1中，nÎN·且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn。 　　∴ 由(1)(2)可知，當n＞1，nÎN·且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn。